La geometría de la inteligencia o la computación del universo

 “Dios siempre está haciendo geometría”. Platón, Timeo.

Nick Bostrom, en el famoso artículo ("Are you living in a Computer Simulation?"postuló que la realidad en toda su extensión, la cosmología podríamos decir, podría ser una simulación. Desde mi punto de vista, la simulación  supone una exterioridad, un creador, un Dios, por lo tanto es un argumento teísta por la existencia de Dios, quizás no un Dios como en las religiones monoteístas, pero una entidad que actúa como Dios. Para mi lo que parece evidente, es que podemos interpretar la realidad como una computación, como ya he tratado en otros lugares (Digitalidad: El universo inteligente y la realidad digital o la serie de post empezando por Introducción a la Digitalidad: Sistema de Filosofía Digital (I)). Si como hacen eminentes científicos, reducimos toda la realidad, la física de partículas, la psicología, la biología, la economía a información, la realidad es un proceso de información, y ese proceso no tiene porque ser externo, puede ser inmanente, lo que resulta como argumento panteísta por la existencia de Dios, pero ese Dios no podría distinguirse de la realidad, y no sería otra cosa que la inteligencia, un concepto muy general y ubicuo de inteligencia, que funciona en todo el universo, y que integra varias geometrías. Volveremos a ello. 

La importancia de la geometría en los orígenes y desarrollo de la filosofía

La geometría nació como una disciplina práctica, como una maestría basada en la medición, que necesitaban los arquitectos, ingenieros y también utilizada por los astrónomos.

Resulta difícil adentrarse en los orígenes reales de la geometría, por qué la geometría no empieza con una teoría sobre la geometría como con Euclides. La geometría existe desde el momento que se construyen edificios megalíticos, aunque nos resulta más fácil identificarla con las primeras civilizaciones como Babilonia o Egipto, donde la arquitectura se desarrolló enormemente. La geometría era totalmente subsidiaria de la arquitectura y de la ingeniería antiguas. Más que disciplinas separadas debemos hablar de conjuntos de conocimientos y prácticas.

Como su etimología griega indica, la palabra "geometría" viene de "geo" (tierra) "metria" (medida) es la medición de espacios. La geometría en sus inicios es la técnica de la medición, para luego ser la de la proyección espacial, mediante el cálculo. Tanto geometría como construcción, las técnicas, los conocimientos sobre los materiales (resistencia, etc.), eran conocimientos, que se transmitían oralmente, apoyados por pocos escritos.

Tanto la historia de la arquitectura, como la de la geometría, obvian los humildes orígenes de esta última, cómo maestría práctica de la regla y el compás, de los agrimensores y de los constructores, capaz de diseñar espacios, y resolver problemas concretos, mediante el cálculo. Lo que los libros de historia nos esconden, es el factor humano y social de los orígenes, que tienen más que ver con la división del trabajo y la organización social y política, que con la técnica. Esta es la idea de Abel Rey (La juventud de la ciencia griega, 1961, p177), que considera que el nacimiento de la geometría va de lo concreto a lo abstracto.

La geometría se va haciendo formalmente abstracta con los griegos, pero no ya como compendio organizado de conocimientos, sino como teoría sobre un área de conocimiento. Lo que cambia radicalmente en la Polis griega, es la democracia. Aquí ya no tenemos una élites de sacerdotes y altos funcionarios como en Egipto, que intentan ocultar el conocimiento a los estratos inferiores, sino que tenemos una pequeña Ciudad-Estado, en la que se coopera para sobrevivir y el conocimiento se democratiza, es para todos, pero para todos los que sean capaces, mientras sean ciudadanos. Una suerte de meritocracia del saber. Así encontramos las primeras escuelas tipo Universidad. Es el caso de la Academia o Academia de Atenas (Platón) que nació en el 387 AC y duró al menos hasta el 160 AC, el Gimnasio (Aristóteles), el Jardín (Epicuro), la Stoa (Zenón), el Museo de Alejandría 280 AC (iniciado por Aristóteles) donde se ubicaba la famosa biblioteca y otras muchas más. Curiosamente las academias de Platón y Aristóteles se encontraban en un gimnasio, cosa que hoy en día nos deja un poco perplejos, vista la nula actividad intelectual que hay por esos lares. Lo importante de estas proto-universidades es que no se dedicaban a transmitir los conocimientos, sino especialmente a crearlos. No decimos que no se crearan anteriormente nuevos conocimientos, pero generalmente se trataba de soluciones a problemas prácticos, en cambio, en Grecia, empezamos a ver lo que es la innovación y la investigación, como pensamiento, que intenta avanzar y proponer cosas nuevas. Una teorización del conocimiento.

Recordemos el famoso el frontispicio de la academia de Platón, que decía Ἀγεωμέτρητος μηδείς εἰσίτω (aquí no entra nadie que no sepa geometría). Precisamente, la primera palabra "ageometros" quiere decir, "el que no sabe geometría". El conocimiento de geometría supone en ese tiempo, ya una capacidad de abstracción, de razonamiento ordenado, que a Platón le parece imprescindible, para dedicarse a la filosofía con seriedad. Si no tienes la maestría de geometría, ni vengas. La filosofía como teoría, es decir, como racionalización del conocimiento, como búsqueda de los elementos esenciales del conocimiento en general o de una rama del conocimiento, escoge entre varios métodos de razonamiento la misma geometría, que será la base de la lógica formal. Como el filósofo español Gustavo Bueno ha señalado más de una vez, la geometría y la filosofía, están íntimamente relacionadas. La geometría permite un razonamiento universal más allá de toda cultura (si se aceptan sus axiomas). Esa es la razón porque la filosofía occidental da un paso más allá de las filosofías orientales, de las religiones, y del arcaico discurso mitológico, porque no solo propone discursos nuevos, conocimientos, originales o reflexiones coherentes, sino que razona sobre los propios discursos, para encontrar las leyes universales a ellos. Intenta abstraer los principios universales de cualquier conocimiento.

Los filósofos presocráticos buscan los elementos de la realidad, y los encuentran en el agua, el fuego, la tierra, el aire, incluso los atómos. Solo desde esta perspectiva de teorizar, se entiende el surgimiento de los Elementos de Euclides. Posteriormente, la geometría ha sido utilizada como método, sin voluntad de ser exhaustivos, por SpinozaNewtonHobbesWittgensteinMooreRussell y desarrollada por Descartes (geometría analítica), Leibniz (geometría diferencial) y otros muchos.


El establecimiento de la lógica geométrica de Aristóteles a Euclides

Tales de Mileto (546 AC) puede considerarse como uno de los primeros filósofos y también teóricos de la geometría. Nos dejó el llamado Teorema de Tales. Lo que a todos los historiadores les llama poderosamente la atención es que según la genealogía de la geometría, vemos al libro de Euclides del como el principio de todo, como una singularidad. Había geometría, milenios antes de la aparición de su libro sobre el, pero es probablemente alrededor de ese momento, que la geometría práctica y la geometría teórica, se dividen para siempre.

Los Elementos de Euclides (300 AC) constituyen una obra en trece libros, que parece que surgió de la nada. Escrita en el Museo de Alejandría, no se sabe con certeza si era un autor auténtico o un pseudónimo, o  incluso, si era un grupo de intelectuales. Parece que se han perdido varios libros similares a los Elementos anteriores, que intentan organizar los conocimientos geométricos. Se piensa que Pitágoras pudo ser la fuente para los postulados I y II, Hipócrates de Quíos para el III y Eudoxo de Cnido para el V. El título Elementos deriva de "Elementum" la traducción latina de στοιχειον (stoikheion), palabra que se utilizaba para hablar de los componentes básicos. Esta es la obra probablemente más leída de la historia y es el modelo de sistema axiomático-deductivo de lógica aplicada a las matemáticas y a la geometría en particular. Un sistema que determinará toda la arquitectura y el arte hasta el Renacimiento e influirá enormemente en el método de la filosofía y de la ciencia. Pero lo que seduce especialmente de ser un sistema axiomático es que las proposiciones se demuestran, por tanto, es un libro de referencia, del que se pueden derivar cosas nuevas porque hay unos principios demostrados. Sin embargo, al margen de los conocimientos geométricos, el método de la lógica desde mi punto de vista viene completamente heredado de Aristóteles, especialmente de su obra Segundos analíticos, donde se define perfectamente la aplicación del silogismo (el razonamiento lógico) a la ciencia o pretensión de verdad: 

"llamo silogismo a la demostración que produce ciencia" (II, §5) 

y todos los términos y funcionamiento del sistema axiomático, 

"a aquella proposición que se debe necesariamente conocer para conocer la cosa, cualquiera que ella sea, la llamo axioma" (III, §6), 

así como muchos ejemplos, incluso de geometría. El énfasis en utilizar no solo la deducción lógica como sistema de razonamiento válido, sino de construir el razonamiento partiendo de elementos universales,

"las proposiciones inmediatas son todas elementos de demostración, por lo menos en todas las que son universales; sin termino medio, no hay demostración, porque entonces se ha llegado ya a los principios mismos" (XXIII, §5)

Importante destacar que en esta última frase así como en muchos lugares como en (XXIII, §7), Aristóteles utiliza la palabra stoikheion y no otras equivalentes como panta rhyzomata empleadas por algunos presocráticos, para hablar de los elementos esenciales. Lo que destaca en Euclides es su manera esquemática y constructiva de redactar. En el Libro Primero y fundamental, empieza con 23 definiciones, luego con los famosos 5 postulados (los elementos de la geometría), las 8 llamadas nociones comunes, y luego 48 proposiciones que demuestran lo anterior. En cambio Aristóteles, aunque define el sistema axiomático, su manera de escribir es bastante tradicional, con pequeños párrafos, con una organización más lineal, literaria, que constructiva o deductiva. 

Los postulados en su definición original:

I - Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
II - Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
III - Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
IV - Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
V - Y que si una recta al incidir sobre 2 rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.

Más adelante, o casi recientemente, hemos tenido dos grandes obras de definición de la geometría, que siguen o evolucionan el sistema axiomático pero lo hacen solucionando todas las objeciones a la geometría clásica: los Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría) que Hilbert publicó en 1899 y que sustituye los tradicionales axiomas de Euclides por sistema formal de 21 axiomas, y los Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, llamado Programa de Erlangen, que Klein publicó en 1872, donde se define y unifica tanto la geometría euclidiana como la no euclidianas, a través del concepto algebraico de grupo.


La rebelión del V postulado de Euclides y la geometría de la relatividad

Una obra tan perfecta y cerrada en sí misma como los Elementos de Euclides y que ha ejercido una influencia enorme hasta el día de hoy, empezó desde el primer momento a dar algunos signos de indeterminación. El postulado V sobre las líneas paralelas fue criticado desde diversos puntos de vista durante casi dos mil años, muchos intentando en primera instancia demostrar que el V axioma se podía deducir de los demás, pero sin éxito. De hecho Euclides, en sus primeras 28 proposiciones no recurre al postulado V. Ejércitos de matemáticos se han peleado con el V postulado. Saccheri en su libro Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclides liberado de cada defecto) de 1733 realiza con audacia una demostración al absurdo pero era errónea. Finalmente, se llega a la conclusión que el V postulado es independiente de los demás, porque de lo contrario se llega a una contradicción, lo que es inasumible en matemáticas. Si el V postulado depende de los otros cuatro, no se debería incluir entre los demás. Si eliminamos dicho postulado y los sustituimos por su negación, entonces si es verdad que el postulado V depende de los demás, podremos demostrarlo, y con ello obtendremos, que tanto el V postulado como su  negación, serán ciertas, lo cual es absurdo. 

Sin embargo, esta contradicción aparente, se llegó a demostrar que habría la posibilidad de geometrías no euclidianas (que no cumplen con alguno de los postulados de Euclides), sin contradicción lógica alguna. Esta rebelión del V postulado empezó con Kant, que fue el primero en ofrecer un ejemplo de geometría no euclidiana, pero no fue hasta GaussBolyai y Lobachevsky, que estas quedan formalizadas y definidas. 

Mientras la geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero, las geometrías euclidianas serían dos: 

  • geometría hiperbólica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa (la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es inferior a 180°).
  • geometría elíptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva (la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180°).

La geometría define el mundo en que vivimos, como los polígonos definen lo que vemos en un videojuego. Solo tenemos que comparar videojuegos de hace 20 años para ver lo importante que es la geometría para describir la realidad.

Las geometrías no euclidianas rompen con el sentido común como pasa con las vanguardias artísticas.  Existen formas y espacios difíciles de representar (a veces totalmente imposibles de dibujar, solo podemos describirlos con notación matemática). Es como el arte abstracto de Kandinsky, o la música dodecafónica o cómo leer el Finnegans Wake de Joyce. Vivimos en un mundo, que únicamente podemos entender si no razonamos de manera clásica, porque las evidencias van contra la intuición.

En esta rebelión aparece un matemático, grande entre los grandes, pero desconocido para el gran público, que es Bernhard Riemann. Nos interesa su obra Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis en que se funda la geometría) de 1854, donde realiza una unificación de las geometrías tanto euclidiana como no, según la geometría diferencial, en lo que se ha venido a llamar geometría de Riemann y que fueron decisivas para poder construir la Teoría de la Relatividad. Riemann introduce el concepto de tensor de curvatura llegando a demostrar, que la geometría euclídea, la geometría hiperbólica y la geometría elíptica, son casos particulares de geometrías riemanninanas, caracterizadas por valores constantes. De hecho, lo que él aporta es la novedad de geometrías donde la curvatura no es constante.

Precisamente, Albert Einstein en 1920 utiliza  los conceptos de Riemann, asimilados gracias a las clases particulares de su amigo y socio intelectual Grossmann -sin las cuales Einstein no habría llegado a nada-, para construir su Teoría de la Relatividad General. En ella se define una estructura geométrica del universo y se demuestra que la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente lo que se observa como campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría, líneas que se denominan geodésicas.

Agujero negro supermasivo

El ejemplo más gráfico de curvatura del universo lo tenemos en esas preciosas imágenes del agujero de la película Interstellar y de varios documentales, donde se aprecia como los rayos de luz rodean un objetivo de gravedad masiva, pero esa deformación no es porque los rayos rodean un objeto sino porque el espacio está deformado, los rayos por decirlo de alguna manera siguen rectos, en el sentido de que recorren el menor espacio entre dos puntos, igual que si el espacio fura plano. La geometría de los agujeros negros va contra el sentido común, porque los humanos no podemos experimentarla en condiciones normales, pero existe y funciona.


El descubrimiento de la cuarta dimensión el el siglo XVIII

En la evolución de la geometría uno de los episodios más curiosos, es el del descubrimiento de la cuarta dimensión. El origen se halla en un artículo del enciclopedista D'alembert llamado Dimensions que data de 1754. Lagrange fue uno de los primeros en formalizar el concepto pero definitivamente fue una vez más Riemann quien cerró el tema. Sin embargo, fue muy popular el escrito de Charles Howard Hinton popularizó estas ideas en un ensayo llamado "What is the Fourth Dimension?", donde explica el concepto de un cubo de cuatro dimensiones, llamándolo teseracto (hoy en día hablamos más de hipercubo)con una generalización paso a paso de las propiedades de las líneas, cuadrados y cubos. Esta cuarta dimensión tuvo una gran repercusión en la literatura en su tiempo, pero aún perdura en la ciencia ficción y en el cine. En cualquier caso, esta cuarta dimensión como todas las n-dimensiones extras, estamos hablando de polígonos euclidianos. También el arte abstracto de Kandinsky o Duchamp, está influido por el descubrimiento de la cuarta dimensión.


Teseracto

En 1908, Hermann Minkowski en el artículo Raum und Zeit (Espacio y Tiempo) define el tiempo como la cuarta dimensión del espacio-tiempo, que sería la base de las Teorías de la Relatividad Especial y General de Einstein. Sin embargo, esta geometría del espacio-tiempo, no es euclidiana, lo que ya no es tan inspiracional como la de Hinton, es una variedad (manifold) pseudoriemanniana con curvatura dada por la densidad de la energía-impulso.

El filósofo ruso Ouspensky escribió una original obra llamada Tertium organum en 1912, en la que sostiene que las tres dimensiones son una consecuencia de las limitaciones de nuestros sentidos, pero que la realidad tiene una dimensión extra, que nuestra conciencia es capaz de reconocer y que determina nuestra existencia. Existe un claro misticismo en sus teorías, pero tiene la virtud de intentar ir más allá de la visión ingenua del mundo tridimensional, después de que se hubiera demostrado, no solo la posibilidad teórica de objetos y espacios de n-dimensiones, sino constatación matemática por Einstein y luego verificada empíricamente, que el universo es de cuatro dimensiones. Hasta donde podemos saber hoy, esto es así, vivimos en cuatro dimensiones.

Hoy se define "dimensión" como el número mínimo de coordenadas necesarias para especificar cualquier punto dentro de ella, los vertices definen las dimensiones. Poniendo como ejemplo el cubo, utilizando la notación de Schläfli, podemos ver el conjunto inicial de los hipercubos:

() Punto (0 dimensión, Monón)

{4} Segmento (1 dimensión, Dión)

{4} Cuadrado (2, dimensiones, Tetrágono)

{4,3} Cubo (3 dimensiones, Hexaedro)

{4,3,3} Teseracto (4 dimensiones, Octacoron)

{4,3,3,3} Penteracto (5 dimensiones, Deca-5-topo)

Penteracto. Proyección ortogonal

también en su versión de panal geométrico:

{4,3,4} Cubo Panal 3 dimensiones

{4,3,3,4} Cubo Panal 4 dimensiones (Tesseratic Honeycomb) 

Tesseratic Honeycomb

{4,3,3,3,4}  Cubo Panal 5 dimensiones

{4,3,3,3,3,4}  Cubo Panal 6 dimensiones


Geometrías de la física y de la Inteligencia Artificial

Así pues el universo en que vivimos, explicado por la Teoría de la Relatividad, funciona en cuatro dimensiones no euclidianas. Pero existen diversas teorías que desafían la falta de unificación de las fuerzas universales y la falta irreductible de compatibilidad con la Mecánica Cuántica. Las así llamadas Teorías de la Gran Unificación (TGU o GUT en inglés), buscan una explicación común para el modelo estándar de fuerzas y partículas o campos y ondas.


La Teoría de las Cuerdas o Supercuerdas, que realmente es un conjunto de teorías sobre las que sobresale la llamada Teoría M, necesita 10 dimensiones espaciales y una temporal, 11 en total (o más en alguna subteoría). Como precedente de buscar dimensiones extras a la cuarta, tenemos la Teoría de Kaluza-Klein como una generalización de la Teoría de la Relatividad General, propuesta por Theodor Kaluza en 1919, y refinada por Oskar Klein posteriormente en 1926, que trata de unificar la fuerza de la gravedad y la fuerza electromagnética, usando un modelo geométrico en un espacio-tiempo de cinco dimensiones. En la Teoría de Cuerdas se utiliza la variedad geométrica de Calabi-Yau para representar la compactación de las dimensiones.

Variedad de Calabi-Yau

Otra teoría geométrica es la de A. Garrett Lisi llamada An Exceptionally Simple Theory of Everything donde postula que todo el sistema estándar se puede describir con E8, que es el grupo de Lie más grande del álgebra de Lie. Aquí hablamos de 248 dimensiones complejas (reales 496).

Todas las partículas asignadas en un E8

Una mención especial merece el amplituedro, estructura geométrica introducida en 2013 por Nima Arkani-Hamed y Jaroslav Trnka, para facilitar los cálculos de la interacción de partículas en la Teoría Cuántica de Campos. Pues bien, esta estructura pone en duda que el espacio y el tiempo son fundamentos de la realidad y son generalizaciones de algo anterior.

Amplituedro

Existen muchas más teorías, pero ninguna de ellas ha sido probada. Muchas no pueden ni probarse. Parecen más sistemas de clasificación, que teorías predictivas, pero en todos los casos, está claro que la geometría es un componente esencial para describir la realidad.

La inteligencia artificial tampoco es indiferente a la influencia de la geometría. Francois Chollet  en su Deep Learning with Python (solo en la primera edición), llama al "deep learning" "geometric intelligence" (9.3.1). El autor se refiere a que las redes neuronales realizan unas transformaciones geométricas para llegar a un resultado.

Precisamente, Geometric Deep Learning, que trata de tales transformaciones, especialmente provenientes de datos no euclidianos, es uno de los tópicos más estudiados en estos momentos. El concepto de geometría de la inteligencia puede generalizarse, para entender que hay una parte del proceso de información de la inteligencia, que es información geométrica propiamente dicha, no solo porque los humanos tenemos un mecanismo perceptivo, sino porque la inteligencia siempre está gestionando espacios y formas en el universo. El gluón y el fotón son partículas sin masa. La esencia de la realidad, a veces, no tiene sustancia pero tiene existencia. Un mero punto, determina geométricamente la existencia de algo sin cuerpo, sin dimensión, por tanto, la existencia es geométrica.


Inteligencia generativa, geometría cósmica y computación universal

En este pequeño recorrido histórico y multidisciplinar, hemos querido resaltar las relaciones entre el pensamiento (y filosofía) con la realidad, y de la inteligencia con la geometría. 

El universo inteligente donde vivimos, es una computación, es un panteismo digital, donde la inteligencia cósmica ubicua, procesa la información/energía del Cosmos. 

La inteligencia generativa es una inteligencia inmanente a la inteligencia cósmica y la inteligencia cósmica es inmanente al universo. A su vez, la inteligencia generativa se basa en una geometría de la supersimetría, y de la casilla vacía o cubo vacío, que llamaremos geometría generativa (cfr. La evolución de la inteligencia cósmica: Sistema de Filosofía Digital (VII) y Panteismo Digital e Inteligencia Generativa: Sistema de Filosofía Digital (VIII)).

La inteligencia geométrica pervade también la inteligencia cósmica de espacios y formas con transformaciones geométricas, que llamaremos geometría cósmica.

La geometría es un producto de la inteligencia, es una parte del resultado del proceso de información, por tanto, no es algo esencial, pero es necesaria para la comprensión de la realidad. Los procesos informacionales o energéticos, tienen forma o ausencia de forma, son espacio geométrico o puntos sin dimensión, son por tanto, geometría y la geometría es matemática, y efectivamente reducible a información.

La inteligencia sentiente humana, está presa en la jaula geométrica del "euclidianismo" de tres dimensiones, pero sin embargo, la grandeza del ser humano, reside en ser capaz de entender otras realidades de más de cuatro dimensiones, o no euclidianas, para comprender el universo en su cosmología. Esta diferencia inteligente, entre cósmica y generativa, explica la evolución del universo, con sus momentos y estructuras de negentropía.

Nuestra madre es la inteligencia generativa, ella nos ha creado. La inteligencia cósmica son sus hijos, somos nosotros, es la esencia de nuestro pensamiento, es el nexo común entre todas las cosas vivas y muertas, entre la conciencia y la inconsciencia, entre la presencia y la ausencia.

La geometría de la inteligencia o la computación del universo La geometría de la inteligencia o la computación del universo Reviewed by Rais Busom on enero 30, 2021 Rating: 5

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